3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (2024)

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Calculer des factorielles

Simplifier une fraction contenant des factorielles

Résoudre des problèmes de factorielles

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Les factorielles sont des objets mathématiques peu fréquents, mais très utiles pour ceux qui travaillent dans le domaine des probabilités et de l’algèbre combinatoire (permutations[1]). Une factorielle se présente sous la forme d’un nombre (n) suivi d’un point d’exclamation (3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (3)). Cette expression a pour valeur le produit de tous les nombres inférieurs à ce nombre, lui compris. Une fois cette définition acquise, il est très facile avec une calculatrice scientifique de calculer des factorielles.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer des factorielles

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  1. 1

    Sachez comment se note une factorielle. Une factorielle s’écrit sous la forme d’un nombre simplement suivi d’un point d’exclamation.

    • Ainsi, la factorielle 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (6) se dit «factorielle de 5» ou «factorielle 5».
  2. 2

    Inscrivez la séquence de calcul sous-jacente à la factorielle. Il s’agit du produit de tous les nombres, en commençant par celui de la factorielle, inférieurs à ce nombre jusqu’à 1[2]. De façon théorique, la formule s’écrit comme suit: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (8), 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (9) étant obligatoirement un entier positif[3].

    • Dans notre exemple, la décomposition est la suivante: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (10). Simplification faite, l’expression est la suivante: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (11).
  3. 3

    Faites le produit. Avec une calculatrice scientifique, c’est simple, puisque vous tapez la factorielle et vous appuyez sur la touche 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (13). Pour un calcul de tête, essayez de combiner les valeurs pour parfois obtenir 10 ou 100, ce qui facilite les calculs[4]. Quant au 1 final, vous pouvez le négliger, 1 étant neutre pour le produit (il n’en change pas le résultat).

    • En calculant 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (14), laissez d’ores et déjà tomber la multiplication par le 1 final et faites 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (15). Il ne vous reste plus qu’à multiplier 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (16). Comme 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (17), vous pouvez écrire que:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (18).

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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Simplifier une fraction contenant des factorielles

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  1. 1

    Observez bien l’expression que vous devez simplifier. Le plus souvent, il s’agit d’une expression ayant des factorielles en numérateur et en dénominateur.

    • Prenons un exemple concret, simplifions 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (21).
  2. 2

    Décomposez chaque factorielle. Le but de l’opération est de faire apparaitre des facteurs qui vont s’annuler de part et d’autre du trait de fraction[5]. Au début, vous écrirez tous les facteurs, plus tard, vous irez plus vite en annulant directement telle ou telle factorielle[6].

    • Reprenons notre exemple: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (23). Cette fraction peut être présentée ainsi:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (24).
  3. 3

    Supprimez tous les facteurs communs. Ils doivent être à la fois en numérateur et en dénominateur[7]. Il vous restera alors une fraction irréductible dont vous calculerez les termes.

    • À l’évidence 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (26) est facteur de 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (27), vous pouvez donc supprimer ce qui correspond à 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (28) en numérateur (il reste 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (29)) et 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (30) en dénominateur:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (31).
  4. 4

    Faites les calculs. Cela fait, voyez s’il n’y a pas de simplifications possibles. Le résultat doit toujours être donné sous forme de fraction irréductible.

    • Reprenons l’exemple:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (33)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (34)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (35).
      Ainsi, 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (36) devient 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (37).

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Résoudre des problèmes de factorielles

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  1. 1

    Trouvez la valeur de 8!.

    • Sur une calculatrice scientifique, tapez sur la touche 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (40), puis sur la touche 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (41). Le résultat s’affiche.
    • Pour une résolution à la main, écrivez la décomposition de la factorielle:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (42).
    • Supprimez le dernier terme (égal à 1):
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (43).
    • Mettez 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (44) en tête de produit:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (45)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (46).
    • Groupez les autres facteurs par paires pour accélérer les opérations, puis multipliez tous les résultats intermédiaires:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (47)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (48)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (49)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (50).
      Pour résumer, 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (51).
  2. 2

    Simplifiez l’expression: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (53).

    • Décomposez toutes les factorielles:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (54).
    • Supprimez terme à terme tout ce qui est commun au numérateur et au dénominateur:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (55)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (56).
    • Faites les calculs:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (57)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (58)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (59).
      Ainsi la fraction 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (60) peut s’écrire sous la forme 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (61).
  3. 3

    Résolvez un problème concret. Supposons que vous vouliez repeindre un mur sur lequel il y aura, une fois terminé, 6 bandes de 6 couleurs différentes. Question: Quelles sont les différentes combinaisons possibles?

    • La réponse à ce problème est 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (63), nous ne le démontrerons pas ici, mais intuitivement vous pouvez comprendre comment cette solution apparait.
    • Pour la première bande, vous avez le choix entre 6 couleurs. Pour la suivante, vous n’avez que 5 choix possibles, etc. C’est comme cela que les choix sont:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (64). Ce produit est 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (65).
    • Sur une calculatrice scientifique, tapez 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (66), puis appuyez tout simplement sur la touche 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (67).
    • Pour une résolution sur le papier, écrivez le produit:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (68).
    • Négligez le 1 final:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (69).
    • Groupez en tête de produit 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (70):
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (71)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (72).
    • Groupez les autres facteurs par paires pour accélérer les opérations, puis multipliez tous les résultats intermédiaires:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (73)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (74)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (75)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (76).
      Il y a 720 combinaisons possibles de bandes de 6 couleurs différentes.
  4. 4

    Résolvez un autre problème concret. Il est assez proche du précédent dans la mesure où vous avez toujours un mur et 6 couleurs à disposition. La différence tient au fait que vous n’allez faire que trois bandes de trois couleurs différentes. Question: Quelles sont les différentes combinaisons possibles?

    • De façon simple, vous pouvez dire que vous avez 6 choix pour la première bande, 5 pour la suivante et 4 pour la dernière, c’est-à-dire la première partie de factorielle 6. Cependant, sachez qu’il existe, pour ce genre de calcul combinatoire, une formule toute prête: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (78), 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (79) étant le nombre d’éléments à disposition au départ et 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (80) le nombre d’éléments réellement choisis parmi les n éléments. Cette formule n’est utilisable qu’aux conditions expresses qu’il n’y ait pas de répétitions (dans notre exemple, une même couleur qui serait choisie deux fois) et qu’il y ait une séquence ordonnée de choix possibles[8].
    • Ainsi, dans notre exemple de trois bandes de trois couleurs différentes prises parmi 6 possibles, le nombre de combinaisons possibles s’établit comme suit:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (81).
    • Faites la seule soustraction en dénominateur:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (82)
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (83).
    • Décomposez chacune des deux factorielles:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (84).
    • Supprimez tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur:
      3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (85).
    • Faites les calculs restants: 3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (86).
      Avec 6 couleurs disponibles, vous avec 120 combinaisons possibles pour faire 3 bandes de couleur sur votre mur.

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Conseils

  • Il est une factorielle spéciale: c’est 1! dont la valeur est… 1!.
  • Par convention, qui semble un peu illogique eu égard à la définition, il a été établi que 0! = 1.
  • Les factorielles sont très utiles en théorie des nombres et des probabilités. Entrainez-vous!
  • Comme dans tout exercice d’algèbre, vérifiez toujours vos résultats.

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Name: Otha Schamberger

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